Carlo Bombrini nasce a Genova il 3 ottobre 1804 ed esordisce nel mondo del lavoro come commesso nella ditta bancaria Bartolomeo Parodi e Figlio di Genova. Il titolare nel 1844 lo propone come direttore della costituenda Banca di Genova, della quale Parodi l'anno seguente diventa presidente. La banca viene autorizzata dalle regie patenti del 16 marzo 1844 ad operare con la denominazione di Banca di sconto, depositi e conti correnti.
Bombrini dirige gli affari della banca, concentrandosi in particolar modo sul consolidamento del nome dell'istituto. Essa, la prima istituzione del genere nel Regno Sardo, fino al 1848 rimane un organismo a carattere locale. Le ingenti spese belliche del 1848-49, costringono il governo piemontese a ricorrere ad un prestito di venti milioni di lire, di cui la Banca di Genova si assume interamente l'onere. In questo periodo inizia una proficua collaborazione tra Bombrini e Camillo Cavour, che confluisce nella costituzione della Banca Nazionale, attraverso la fusione della Banca di Genova con quella di Torino. Bombrini, sostiene fortemente questa idea, contrastata invece da piccoli e grandi banchieri preoccupati degli eccessivi benefici di cui l'istituto avrebbe goduto.
Nel corso di questa operazione Bombrini ricopre il ruolo di intermediario tra l'ambiente finanziario ligure e quello torinese. Aumenta il suo prestigio personale e viene nominato direttore di uno dei due consigli di reggenza che avrebbero dovuto gestire la banca, accentrando sotto il suo controllo le maggiori operazioni in corso. Si occupa poi della collocazione dei prestiti di Stato e dei pagamenti dei relativi interessi, specie all'estero e si dedica a varie iniziative promosse dai più dinamici gruppi dell'ambiente economico-finanziario genovese.
Partecipa inoltre alla fondazione della società in accomandita Giovanni Ansaldo & C., formata da B. Bona, R. Rubattino e G. Penco nel 1853, allo scopo di rilevare lo stabilimento metallurgico Taylor-Prandi di Sampierdarena.
Contrastata dalla fortissima concorrenza estera, la società Ansaldo si trova presto in gravi difficoltà, per sanare le quali Bombrini ricorre ai capitali della Banca nazionale. A partire dal 1856 le azioni della banca vengono quotate in borsa risultando tra i titoli più frequentemente trattati. Nel periodo delle annessioni viene incaricato da Cavour di organizzare nelle regioni di recente annessione nuove sedi della Banca nazionale. Trattando la fusione con gli istituti già esistenti aveva l'obiettivo di creare un'unica banca di circolazione. Morto Cavour, si arresta anche il suo programma in materia di circolazione monetaria, e cresce il peso politico degli oppositori della Banca nazionale. Gli attacchi rivolti a Bombrini, accusato di esercitare prepotentemente la sua carica di amministratore, si intensificano in particolar modo nel '66, dopo l'avvio del corso forzoso decretata il 1° maggio di quell'anno. Negli anni '70 la Banca nazionale attraversa un momento favorevole nella fase del corso forzoso, diventando un'istituzione estremamente importante e condizionante per lo Stato italiano. Bombrini ha una parte rilevante nell'attuazione della legge del 1881 per l'abolizione del corso forzoso e riceve infine da parte dei suoi critici più acerrimi il riconoscimento dei meriti da lui acquisiti nel corso della sua lunga conduzione della Banca nazionale. Nel 1864 e negli anni seguenti, insieme a D. Balduino, uno dei finanziatori della Società delle costruzioni navali, risulta tra gli azionisti della Società anonima delle torbiere italiane e della Compagnia assicurativa Italia.
Sovvenzionatore della manifattura cotoniera di Cuorgné nel 1872, l'anno seguente entra nel consiglio di amministrazione della Banca di Credito Italiana, mentre nel 1879 è tra i fondatori della Compagnia fondiaria di assicurazioni. Nominato senatore alla fine del 1871, muore a Roma il 15 marzo 1882, quando ancora ricopre la carica di direttore della Banca nazionale nel Regno d'Italia.